Home > Matematika Dasar > Apakah yang dimaksud dengan garis singgung?

Apakah yang dimaksud dengan garis singgung?

Apakah anda memahami, apa yang dimaksud dengan “garis singgung sebuah kurva?” Sebelum membaca artikel ini lebih lanjut, cobalah menuliskan definisi “garis singgung sebuah kurva” berdasarkan pemikiran anda sendiri, bukan berdasarkan difinisi yang pernah and abaca, atau apa yang anda ingat dari pelajaran yang pernah anda terima. Sebagai perbandingan, kita akan mempelajari beberapa definisi yang sering diajukan siswa (Richard V. Andree, 1957).

Definisi 1: ”garis singgung merupakan sebuah garis yang tegak lurus terhadap jari-jari (pada titik ekstrimnya)”.

Definisi ini tidak memadai, bahkan pada lingkaran sendiri, karena segment garis yang disebut jari-jari, memiliki dua titik ekstrim. Masalah ini dapat diatasi tetapi definisi yang ada tetap tidak memadai, karena definisinya hanya berlaku pada lingkaran.

Definisi 2: “garis singgung merupakan sebuah garis yang menyentuh kurva pada sebuah titik saja”.Gambar berikut menunjukkan bahwa definisi ini kurang tepat.

Gambar 1:

Garis L menyentuh kurva C pada satu titik saja, tetapi L bukan garis singgung.

Gambar 2:

Garis L merupakan garis singgung kurva pada titik P, tetapi memotong kurva C pada empat titik lainnya.

Gambar 3:

Segmen garis L menyentuh tetapi tidak memotong kurva C pada titik P, meskipun demikian, garis L bukan garis singgung kurva C pada titik P.


Definisi 3:

“Garis singgung adalah suatu garis yang menyentuh kurva, tetapi tidak memotong kurva tersebut”.

Gambar 4:

Garis L adalah garis singgung kurva C pada titik P, tetapi juga L memotong C pada titik P.

Gambar 3 dan Gambar 4 menunjukkan bahwa pernyatan (definisi) yang diberikan, tidak menyajikan definisi yang memadai. Definisi tersebut juga mengandung konsep yang tidak dapat ditafsirkan secara geometris, “menyentuh tetapi tidak memotong”, hal yang tidak mungkin terjadi baik secara teoritis maupun secara numerik. Jika hal ini harus terpenuhi, maka kita dapat mengatakan bahwa garis L pada Gambar 3 adalah sebuah garis singgungsial. Pembaca bisa menganggap bahwa garis pada Gambar 3 bukan merupakan garis, melainkan potongan garis yang seharusnya memotong kurva (jadi L bukan garis singgung). Namun, garis pada Gambar 4 menunjukkan sebuah garis singgung pada kurva C dan juga memotong kurva pada titik yang sama, pada titik tangensial tersebut (L merupakan garis singgung yang memotong kurva).

Defisini 4:Garis L dikatakan garis singgung terhadap kurva C pada titik P, jika dan hanya jika P terletak pada garis L dan kurva C, dan sebuah lingkaran dapat dibentuk dengan titik pusat P sedemikian sehingga C dan L tidak memiliki titik perpotongan lain di dalam lingkaran selain pada titik P tersebut”.

Definisi ini cenderung lebih kompleks, Tetapi jika benar, definisi ini tidak terlalu rumit untuk dipahami. Meskipun demikian, syarat yang tersebut di atas tidak terlalu mutlak dan juga tidak terlalu memadai. Tidak cukup memadai karena garis yang memotong kurva C pada Gambar 1 memenuhi definisi 4. Tidak mutlak diperlukan karena pada beberapa kasus syarat tersebut sulit digambarkan. Kurva yang dibentuk dari penggalan garis y = sin (π/2) yang terletak antara x = -1 dan x = 1 yang digabungkan dengan setengah lingkaran dapat menjelaskan definisi tersebut karena garis y = 1 merupakan tangen terhadap kurva pada titik (0,1), tetapi di dalam sebagian daerah lingkaran di sekitar titik (0,1) garis y = 1 dan kurva tertutup memiliki titik perpotongan yang tak berhingga banyaknya.

Dalam pelaksanaan pembelajaran di kelas, Richard V. Andree biasanya meminta siswa memberikan definisi yang mungkin. Setelah itu dia memberikan contoh untuk memperlihatkan mengapa definisi “Garis L sebagai tangen terhadap kurva C” tidak memadai. Setelah beberapa menit, siswa mungkin merasa bahwa mereka tidak dapat memberikan definisi yang tepat.

Inilah waktu yang kritis, saat seorang guru dapat menyampaikan sebuah definisi garis singgung yang benar. Hal ini menjadi kebiasaan Andree untuk menjelaskan kepada siswa bahwa sebelum mempelajari matematika lebih jauh, kita harus memahami definisi garis singgung secara benar karena banyak hal dalam matematika (tidak menggunakan istilah kalkulus) bergantung pada konsep ini, dan bahwa pengalaman menunjukkan definisi berikut ini dapat menjelaskan garis singgung secara tepat.

Gambar 5

Pertama-tama, perhatikan sebuah titik P yang ditempatkan pada kurva C. Selanjutnya, misalkan titik-titik S1, S2, S3, . . . juga terletak pada sembarang titik pada kurva C, sedemikian sehingga diperoleh garis-garis secan, PS1, PS2, PS3, … Jika urutan titik-titik S1, S2, S3, . . . berbeda dari titik P, maka urutan panjang busur PS1, PS2, PS3, …akan mendekati nol , maka urutan secan-secan PSn akan memiliki garis singgung pada titik P sebagai posisi pembatas, jika garis singgung tersebut ada.

Definisi

Garis singgung PT terhadap sebuah kurva pada titik tetap P adalah posisi pembatas dari garis-garis secan PSn, dimana titik-titik Sn dipilih pada kurva sedemikian sehingga panjang busur PSn mendekati nol, jika posisi pembatas ini ada dan tunggal.

Gambar 6: Empat posisi secan PS

Ada kemungkinan sebuah kurva tidak memiliki garis singgung pada sebuah titik yang ditetapkan pada kurva yang bersangkutan. Perhatikan gambar di bawah ini:


Gambar 7 menyatakan sebuah kurva dengan persamaan garis y = 5 – |x – 3|. Untuk menentukan garis singgung dari kurva tersebut, kita menempatkan titik S seperti terlihat pada Gambar 8 dan Gambar 9. Garis putus-putus menggambarkan posisi pembatas secan melalui titik P yang melalui titik S. Karena kedua posisi pembatas tidak sama (tidak unik) maka kurva tersebut tidak memiliki garis singgung pada titik P. Dari gambaran ini harus dipertegas kepada siswa bahwa definisi garis singgung harus mengandung prinsip ketunggalan, sehingga kurva yang dinyatakan dengan y = 5 – |x – 3| tidak memiliki garis singgung dalam hal ini.

Seorang guru yang mengajarkan pelajaran matematika di kelas X, dapat menganalogikan kurva lain yang tidak memiliki garis singgung pada titik tertentu dengan memperhatikan bahwa garis yang digambarkan seperti pada Gambar 7 di atas memiliki persamaan y = 5 – |x – 3| dimana simbol |x – 3| menyatakan nilai mutlak dari (x – 3). Titik P berada pada koordinat (3,5). Artinya, unsur geometris koordinat titik P memiliki peran penting dalam menyampaikan pengertian garis singgung.

About these ads
  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Follow

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: